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Reste de Taylor
Le reste de Taylor relative à \(f\), au point \(a\) est noté \({{R_n(f,a ; x)}}\)
$$R_n(f,a ; x)={{f(x)-T_n(f,a;x)}}$$
Reste avec intégrale
Si \(f\in \mathcal {{C^{n+1}(I,\Bbb R)}}\) avec \(a\in I={{]\alpha,\beta[}}\), alors \(\forall x\in I\):
$$R_n(f,a; x)={{\int^x_a\frac{(x-t)^n}{n!}f^{n+1}(t)dt}}$$
\(\longrightarrow\) Démonstration:
Pasted image 20220315084055.png
Pasted image 20220315084110.png
Reste de Taylor-Lagrange
Reste de Taylor-Young
Notation:
\(\circ((x-a)^n)\), dit petitot de la n-ième puissance de \((x-a)\) représente un terme dont le rapport divisé par \((x-a)^n\) tend vers \(0\) quand \(x\to a\) dans \(I\)
